当-2＜x＜1时，求函数y=x(75+19x)的最小值

主要内容：

本文通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法，介绍已知当-2＜x＜1时，求函数y=x(75+19x)的最小值的主要步骤。

※.二次函数图像法

因为y=x(75+19x)，所以y=75x+19x^2=19x^2+75x,

其对称轴x=b/2a=-75/2*19=-75/38∈(-2, 1),

该二次函数的开口向上，所以在对称轴处取得最小值，则：

ymin=f(-75/38)

=(-75/38)*(75-19*75/38)

=-5625/76.

※.均等不等式法

由不等式ab≤(a+b)^2，a，b∈R+知：

y=x(75+19x)

=-(-x) (75+19x)

=-(1/19)*(-19x)*(75-19x)

因为(-19x)*(75-19x) ≤{[19x+(75-19x)]/2}^2，

所以-(1/19)*(-19x)*(75-19x)≥-(1/19){[19x+(75-19x)]/2}^2=-(1/19)*( 75/2)^2=-5625/76,

此时19x=75+19x，即x=-75/38∈(-2, 1),

所以函数y的最小值为-5625/76。

※.单调函数法

∵y=x(75+19x)，∴y=75x+19x^2,对x求导有：

dy/dx=75+2*19x，令dy/dx=0,则：

75+2*19x=0，此时x=-75/38，且有：

(1) 当x∈(-2，-75/38)时，dy/dx＜0，函数为减函数；

(2) 当x∈[-75/38，1)时，dy/dx≥0，函数为增函数。

则当x=-75/38时，y取最小值，此时ymin=-5625/76。