新定义“等距点”——2020年秋西城区九年级数学期末第25题

在数学概念中，距离最初是指点到点，随后变成点到线，然后是线到线，其中点可以是定点，也可以是动点，线可以是直线，也可以是曲线，上述的点可以是几何意义上的点，也可以是坐标系中的点，线既可以是几何中的线，也可以是函数图象。

这一下子就把距离可描述的内容极大扩充了，曾经的“闭距离”、“中内弧”、“平移距离”等，无不与它有关，仅“距离”二字，就可以定义出丰富的新概念，的确是命题的上等素材。

题目

对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1=d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”.

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6,0)，B(0,2√3).

(1)在R(3,0)，S(2,0)，T(1,√3)三点中，点A和点B的等距点是_________；

(2)已知直线y=-2.

①若点A和直线y=-2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为____________；

②若直线x=a上存在点A和直线y=-2的等距点，求实数a的取值范围；

(3)记直线AB为l1，直线l2：y=-√3/3x，以原点O为圆心作半径为r的圆O，若圆O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点(m≠0，n≠0)，当m≠n时，求r的取值范围.

解析：

(1)由于原题没有给出参考图，我们需要自己动手作图如下：

利用两点间距离公式，通过计算得到点S为点A和点B的等距点，SA=SB=4；

(2)直线y=-2距离x轴2个单位，且与x轴平行

①点A和直线y=-2的等距点在x轴上，则这个等距点到直线y=-2的距离为2，因此我们只需要找到同样在x轴上，距离点A为2个单位的点即可，以A为圆心作圆，与x轴的两个交点E、F即为所求，其坐标分别为(4,0)或(8,0)，如下图：

②在前一小题的思考基础上，等距点在直线y=a上，仍然依照刚才的思路，先求出直线y=a与直线y=-2间的距离，它们为一组平行线，距离为|a+2|；

以点A为圆心，|a+2|为半径作圆，该圆与直线y=a的交点即所求等距点，如下图：

上图中点K为等距点，AK=MK，不妨设K(k,a)，则在Rt△ANK中，AN=6-k，AK=KM=|a+2|，NK=|a|，利用勾股定理列方程为(a+2)=(6-k)+a，既然是探索点K的存在性，因此它的横坐标k是否能解出来是关键，将上述方程整理成关于k的一元二次方程为k-12k+32-4a=0，题目要求“存在”等距点，所以这个方程一定有实数根，求出它的判别式△=16a+16≥0，解得a≥-1；

(3)我们先作出直线l1，直线l2，圆O，如下图：

先看直线l1和直线l2的等距点，求出直线l1的解析式为y=-√3/3x+2√3，发现它与直线l2的一次项系数相同，即斜率相同，所以l1∥l2，则这两个图形的等距点一定在它们中间的平行线l3上，即图中红色虚线，它到l1和l2的距离相等，我们来求它的解析式：直线l1与y轴交点是B(0,2√3)，直线l2经过原点，则直线l3经过(0,√3)，即y=-√3/3x+√3；

再来看直线l1和y轴的等距点，由角平分上的点到角的两边距离相等，可知这两个图形的等距点，一定在∠ABO及其邻补角的角平分线上，即图中的两条绿色直线l4和l5；

对于△AOB而言，它的三边满足1：√3：2的关系，可以证明它是含30°角的直角三角形，所以可求出∠OBD=30°，于是求出OD=2，即D(2,0)，现在可以写出直线l4的解析式为y=-√3x+2√3；

而直线l5与直线l4垂直，因此其斜率为√3/3，所以它的解析式为y=√3/3x+2√3；

然后我们观察圆O半径逐渐增大时，圆O与直线l3交点个数为m，圆O与直线l4、直线l5的交点个数为n，须满足条件为m≠0，n≠0，m≠n：

情形1：圆O与上述直线均相离，如上图所示，此时m=0，n=0，不符合条件；

情形2：圆O与直线l3相切，如下图：

此时圆O与直线l3切点为P，直线l3与y轴交点为Q，前面我们已知∠ABO=60°，于是∠OQP=60°，且OQ=√3，于是r=OP=3/2，此时m=1，n=0，不符合条件；

情形3：圆O与直线l4相切，如下图：

此时圆O与直线l4切点为P，由于BP平分∠ABO，所以∠OBP=30°，可求出r=OP=√3，此时圆O与l3有两个交点，于是m=2，n=1，符合条件；

情形4：圆O与l5相切，如下图：

此时圆O与直线l5切点为P，同样可得到∠BOP=30°，求出r=OP=3，此时m=2，n=3，符合条件；

情形5：圆O经过点B，如下图：

此时圆O与直线l3有两个交点，与直线l4、直线l5共有三个交点，r=OB=2√3，此时m=2，n=3，符合条件；

当圆O半径继续扩大时，圆O与直线l3始终有两个交点，而与直线l4、直线l5分别也有两个交点，此时m=2，n=4，符合条件，即当r≥3时，都符合条件；

综上所述，r=√3或r≥3.

解题反思

在等距点的定义中，两个图形G1和G2，从最初的两个点，到点与直线，再到直线与直线，很明显的三个理解层次，其中直线从定直线到动直线，进一步细分了梯度，在最后一问中，考察等距点个数，则属于对新定义的深度理解，殊为不易。

对于数学概念教学的启示是，一定要深挖教材中的概念形成过程，短短一句话数十字，究竟能挖掘出多少内容，对于新授课而言，并不多，然而在复习课，尤其是九年级复习课中，再次学习这些概念，并融合全学段知识框架，也许才是真正的概念复习教学。