函数y=1/(x^3+1)的函数性质及其图像

※.主要内容：

本文主要介绍分数函数y=1/(x^3+1)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并通过导数知识求解该函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数的定义域

根据分式函数的定义要求，有:

分母x^3+1≠0，则x≠-1。

则函数y的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，-1)∪(-1,+∞)。

※.函数的单调性：

因为u=x^3+1,为三次幂函数，

在定义域上为增函数，所以取倒数y=c/u为减函数，

即区间(-∞，-1)∪(-1,+∞)为减区间。

或者，用导数知识求解有：

y=1/(x^3+1),

dy/dx=-3*x^2/(x^3+1)^2＜0，

即此时函数y为减函数。

※.函数的凸凹性：

dy/dx=-3*x^2/(x^3+1)^2，

d^2y/dx^2

=-3*[2x(x^3+1)^2- x^2*6*x^2 (x^2+1)]/(x^3+1)^4,

=-6*[x(x^3+1)- 3x^4]/(x^3+1)^3,

=-6x *(x^3+1- 3x^3)/(x^3+1)^3,

=6x(2x^3-1)/(x^3+1)^3,

令d^2/dx^2=0，则x^3-2=0，即x=(1/2)3√4≈0.79，同时结合分母的间断点，

此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈(-1，0)，((1/2)3√4,+∞)时，d^2y/dx^2≥0，则此时函数y为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-1)，[0，(1/2)3√4]时，d^2y/dx^2＜0，则此时函数y为凸函数。

※.函数的五点图：

※.函数的示意图