y=(2x+1)^2(6x+17)^3的性质研究

主要内容：

本文主要介绍函数y=(2x+1)^2(6x+17)^3的定义域、值域、单调性和凸凹性，并通过函数导数知识来求解函数的单调区间和凸凹区间。

函数定义域：

根据函数特征，函数为多项式幂运算和乘积运算，自变量x可以取全体实数，即函数的定义为：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

y=(2x+1)^2(6x+17)^3

y′=4(2x+1)(6x+17)^3+18(2x+1)^2(6x+17)^2

=(2x+1)(6x+17)^2[4(6x+17)+18(2x+1)]

=2(2x+1)(6x+17)^2(30x+43).

令y′=0，则x1=-1/2，x2=-17/6，x3=-43/30，则：

(1)当x∈(-∞，-43/30)，(-1/2,+∞)时，y′>0，此时为增函数，该区间为函数的增区间。

(2)当x∈[-43/30，-1/2]时，y′≤0,此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

即函数在x=-43/30处取极大值，在x=-1/2处取极小值。

函数的凸凹性：

y′=2(2x+1)(6x+17)^2(30x+43)，对x再次求导有：

y＂=4(6x+17)^2(30x+43)+2(2x+1)[12(6x+17)(30x+43)+(6x+17)^2*30]

=4(6x+17)^2(30x+43)+2(2x+1)(6x+17)[12(30x+43)+30(6x+17)]

=2(6x+17)[2(6x+17)(30x+43)+(2x+1)(540x+1026)]

=16(6x+17)(180x^2+516x+311),

令y＂=0，则：

x2=-17/6，x6=(-43-7√6)/30，x7=(-43+7√6)/30,

(1)当x∈(-∞，-17/6),((-43-7√6)/30,(-43+7√6)/30)时，y＂＜0，

此时函数为凸函数,该区间为函数的凸区间；

(2)当x∈[-17/6，(-43-7√6)/30],[(-43+7√6)/30,+∞）时，y＂≥0，

此时函数为凹函数，该区间为函数的凹区间。

函数的极限：

Lim(x→-∞) (2x+1)^2(6x+17)^3=-∞,

Lim(x→0) (2x+1)^2(6x+17)^3=4913,

Lim(x→+∞) (2x+1)^2(6x+17)^3=+∞,

可见函数的值域为：(-∞，+∞)。