求曲线y1=x2+x+1与直线y2=2x+14围成面积计算

主要内容：

通过定积分知识，介绍计算二次函数y1=x2+x+1与直线y2=2x+14围成区域面积的主要思路和步骤。

主要步骤：※.交点的计算

首先联立二次函数y1与直线y2得方程组：

y1=x2+x+1 ……(1)

y2=2x+14 ……(2)

由方程(1)、(2)得：x2+x+1-2x-14=0,

即：x2-x-13=0,

由二次方程求得方程的两个根为：

x1=(1+√53)/2,

x2=(1-√53)/2。

设方程的两个根为x1,x2,由韦达定理得：

x1+x2=1,

x1.x2=-13,

且x1-x2=√53。

※.直线与抛物线交点示意图

如上图所示，抛物线与直线的交点为A,B,其中横坐标有：

Ax=x1,Bx=x2。所求面积为围成的区域面积。

※.定积分与面积

本题围成区域的面积计算表达式为：

S=∫[x2,x1](y2-y1)dx

=∫[x2,x1](2x+14-x2-x-1)dx

=-∫[x2,x1](x2-x-13)dx

=-[(1/3)x3-(1/2)x2-13x)][x2,x1]

=-[(1/3)(x13-x23)-(1/2)(x12-x22)-13(x1-x2)]

=-(x1-x2)[(1/3)(x12+x1x2+x22)-(1/2)(x1+x2)-13]

=-(x1-x2){(1/3)[(x1+x2)2-x1x2)]-(1/2)(x1+x2)-13}

=√53*{(1/3)[(1/1)2+13/1]-(1/2)1/1]-13}

=-√53*(-12/6-2/3*13)

=√53*(12/6+2/3*13)

=53√53/6。