主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在8a+1b=1条件下的最大值。

主要公式：

1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

2.ab≤(a+b)^2/2。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab=a(1-8a)=-8a^2+a

=-8(a-1/16)^2+1/32，

则当a=1/16时，ab有最大值为1/32。

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

8a+b=1,

8a+p/a=1,

8a^2-a+p=0,对a的二次方程有：

判别式△=1-32p≥0,即：

p≤1/32,此时得ab=p的最大值=1/32。

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由8a+b=1，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设8a=(cost)^2，b=(sint)^2，则：

a=1/8*(cost)^2,b=(sint)^2,代入得：

ab=1/8*(cost)^2(sint)^2,

=1/32*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=1/32。

思路四：中值代换法

设8a=1/2+t,1b=1/2-t，则：

a=(1/8)(1/2+t),b=(1/2-t)

此时有：ab=(1/8)(1/2+t)*(1/2-t)

=(1/8)(1/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤1/32,

则ab的最大值为1/32。

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵8a+b≥2√8ab,

∴(8a+b)^2≥32*ab,

1≥32*ab,

即：ab≤1/32,

则ab的最大值为1/32。

思路六：数形几何法

如图，设直线8a+b=1上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

8a0+b0=1,b0=a0tanθ, p(a0,b0)

8a0+a0tanθ=1，得

a0=1/(8+tanθ),

|a0*b0|=|tanθ|/(8+tanθ)^2,

=1/[(64/|tanθ|)+16+|tanθ|]

≤1/(16+16)=1/32。

则ab的最大值=1/32.

思路七构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(8a+b-1),

则偏导数f'a=b-8λ,f'b=a-λ,

f'λ=8a+b-1。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=8λ,a=λ。进一步代入得：

8λ+8λ=1,即λ=1/16.

则有a=1/16,b=1/2.

ab的最大值=1/16*1/2=1/32。