隐函数y=(x+2y^2)^2的一阶和二阶导数计算

主要步骤：

本文通过隐函数、函数和、函数商的求导法则，以及幂函数等求导公式，介绍隐函数y=(x+2y^2)^2一阶和二阶导数计算的主要步骤。

一阶导数计算：

因为y=(x+2y^2)^2，同时对x求导有，

所以y'=2 (x+2y^2)*(1+4y*y'),

则：y'=2(x+2y^2)+8*(x+2y^2)*y*y',

y' [1-8 (x+2y^2)y]=2(x+2y^2),

y'=2 (x+2y^2)/[1-8(x+2y^2)y]。

将y=(x+2y^2)^2代入上式，有：

y'=2*(y)^(1/2)/[1-8*(y)^( 1/2)*y]

=2*y^(1/2)/[1-8*y^(1/2)y]

=2*y^(1/2)/[1-8*y^(3/2)].

二阶导数计算：

因为y'=2*y^(1/2)/[1-8*y^(3/2)]，

所以y''=2*{1/2*y^(-1/2)y'*[1-8*y^(3/2)]+y^(1/2)*8*3/2*y^(1/2) y'}/[1-8*y^(3/2) ]^2,

y''=2*y'{1/2*y^(-1/2)[1-8*y^(3/2)]+y^(1/2)*8*3/2*y^(1/2)}/[1-8*y^(3/2)]^2,

=4*y^(1/2){1/2*y^(-1/2)[1-8*y^(3/2)]+y^(1/2)*8*3/2*y^(1/2)}/[1-8*y^(3/2)]^3，

=4*y^(1/2){1/2*[1-8*y^(3/2)]+y^(1/1)*y^(1/2)*8*3/2}/[1-8*y^(3/2) ]^3*y^(1/2),

=4{1/2*[1-8*y^(3/2)]+y^(3/2)*8*1^(1/2)*3/2}/[1-8*y^(3/2)]^3,

=4[1/2+8*y^(3/2)]/[1-8*y^(3/2)]^3

=[2+32*y^(3/2)]/[1-8*y^(3/2)]^3.