求函数y=5x(3-x)^2,x∈[0,3]上的最大值

主要内容：

本文主要内容是通过不等式法和导数法等，介绍计算函数y=5x(3-x)^2在区间【0，3】上最大值的计算步骤。

※.不等式法

对正数a，b，c，有不等式：

a+b+c≥3*(a*b*c)^(1/3),

当且仅当a=b=c时，不等式取到等号。

不等式变形有：

abc≤[(a+b+c)/3]^3.

对于本题：

y=5x(3-x)^2

=5/2*2x*(3-x)*(3-x)

≤5/2*[(2x+3-x+3-x)/3]^3

=5/2*[(2x+3-x+3-x)/3]^3

=4*5*3^3/27.

当3-x=2x时，即x=1∈[0,3]时取最大值。

ymax

=20。

※.导数法

∵y=5x(3-x)^2

∴y'

=5(3-x)^2-10x(3-x)

=5(x-3)(3x-3).

令y'=0，则x1=3,x2=1.

判断函数的单调性如下：

（1）.当x∈[0，1]时，y'>0，此时函数y在区间上为增函数；

（2）.当x∈[1，3]时，y'<0，此时函数y在区间上为减函数。

则当x=1时，y有最大值，即：

ymax=f(1)=20.