实数x,y,z满足x^2/3+y^2/2+z^2/2=1,求x+y+z的取值范围

主要内容：

通过柯西不等式、换元法、微分法及构造多元函数法，介绍x+y+z在满足给定条件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1下的取值范围。

主要公式：

1.柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2.

2.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.

柯西不等式法:

∵(x^2/3+y^2/2+z^2/2)*(3+2+2)

≥(x+y+z)^2，

∴1*(3+2+2)≥(x+y+z)^2。

即：-√7≤x+y+z≤√7。

所以所求代数式的取值范围为：

[-√7,√7]。

换元法：

根据已知条件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1，设

x=√3sinasinb,

y=√2sinacosb，

z=√2cosa，此时有：

x+y+z

=(√3sinb+√2cosb)sina+√2cosa

则|x+y+z|≤

√[(√3sinb+√2cosb)^2+2]，

=√(3+2+2)=√7，

即：

-√7≤x+y+z≤√7。

所以所求代数式的取值范围为：

[-√7,√7]。

函数微分法：

设所求x+y+z的最大值为t，则：

x+y+z=t,即：

z=t-x-y，其中t为数值，所以：

对z关于x,y的函数，z对x的斜率即偏导数=-1，

z对y的偏导数即斜率也等于-1。

对已知条件求全微分得：

2xdx/3+2ydy/2+2zdz/2=0,

化简得全微分为：

dz=-2xdx/3z-2ydy/2z,则：

-2x/3z=-1,-2y/2z=-1,

则x=3/2*z,y=z,代入已知条件得：

z^2=2/7,即z=±√2/7,取正时得最大值，

所以x+y+z的最大值

=3/2*z+1/1*z+z=√7，得值域为：[-√7,√7]

多元函数法：

设F(x,y,z)=x+y+z-λ(x^2/3+y^2/2+z^2/2-1),

分别对x,y,z,λ求偏导数，得：

Fx=1-2λx/3,Fy=1-2λy/2,Fz=1-2λz/2,

Fλ=x^2/3+y^2/2+z^2/2-1。

令Fx=Fy=Fz= Fλ=0,则：

x=3/2λ,y=2/2λ,z=2/2λ

代入到Fλ=0方程中，则：

3/4λ^2+2/4λ^2+2/4λ^2=1,

解得：2λ=±√7.

此时代入，得：

x+y+z的最大值

=(3+2+2)/2λ

=(3+2+2)/√7

=√7。

同理最小值为相反数，即取值范围为：

[-√7,√7]。